Question

∠ACB=120°以AC,BC边长向外作正三角形ACF,BCE,点P、M、N分别为AB、CF、CE的中点、求证PM=PN，∠MPN=60°

Answer 1

证明：（1）AC中点为D，BC中点为G，连接MD、NG
M为CF中点，D为AC中点，所以MD为△ACF中位线
MD=AF/2，且MD∥AF，∠MDC=∠FAC=60
P为AB中点，D为AC中点，所以PD为△ABC中位线
PD=BC/2，且PD∥BC，∠PDC+∠ACB=180
∠PDC=60
∠MDP=∠MDC+∠PDC=120
N为CE中点，G为BC中点，所以NG为△BCE中位线
NG=BE/2，且NG∥BE，∠NGC=∠EBC=60
P为AB中点，G为BC中点，所以PG为△ABC中位线
PG=AC/2，且PG∥AC，∠PGC+∠ACB=180
∠PGC=60
∠PGN=∠PGC+∠NGC=120
因为AC=AF，所以MD=PG
因为BC=BE，所以PD=NG
且∠MDP=∠PGN=120
所以△MDP≌△PGN，PM=PN
（2）PG∥AC，PD∥BC
所以四边形CDPG为平行四边形，∠DPG=∠DCG=120
由△MDP≌△PGN可得，∠GPN=∠DMP
∠MPN=∠DPG-（∠DPM+∠GPN）=120-（∠DPM+∠DMP）
因为∠DPM+∠DMP=180-∠MDP=180-120=60
所以∠MPN=120-60=60

Answer 2

可以提示您一下，因为已经告诉您很多的中点，那么久会想到中位线上面去，但是中位线好是好，却存在于一个三角形中，这三中点不在一个三角形中，怎么办呢？仔细看看除了点P是在△ABF中，M，N分别在BF，AE的一部分的中点，所以想到同时去另外的CB，CA的中点，然后，顺次链接所有中点，，其中假设CB，AC中点G，H，链接MN，此时根据条件容易求△MHP≡△NGP≡△NCM，然后求得△MPN为等边三角形也就是正三角形（≡就是指‘’全等于‘’）