Question

数列an={0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,....} 求其前n^2项的和

通过观察得：
元素 0 1 2 3 4.......n
个数 1 3 5 7 9.......2n+1
就是有1个0,3个1,5个2,7个3依次下去按升序排列的数列
我发现n^2可以写成{[(n-1)*2+1]+1}*n/2
因为个数是按13579递增的，元素n-1有(n-1)*2+1个，用高斯消元可得n^2={[(n-1)*2+1]+1}*n/2
an前n^2项和可以写成0*1+1*3+2*7+4*9......
得到的新数列该怎样求和？

Answer 1

解：
分组：(0)，(1，1，1)，(2，2，2，2，2)，(3，3，3，3，3，3，3)，……
第k组有2k-1个数，每个数都等于k-1，第k组各数之和=(2k-1)(k-1)=2k²-3k+1
前k组共1+3+...+(2k-1)=k²个数，因此前n²项之和正好是前n组的和。
所求和S(n²)=2(1²+2²+..+n²)-3(1+2+...+n)+n
=2n(n+1)(2n+1)/6 -3n(n+1)/2 +n
=n(n-1)(4n+1)/6

用上面的方法解很简单，至于你所说的新数列求和，没有什么好方法求，是你想入歧途了。