Question

已知正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，点M为AB边上的动点（不与A、B重合），N为线段MC的中点

已知正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，点M为AB边上的动点（不与A、B重合），N为线段MC的中点，
（1）EN与BC有怎样的位置关系？请证明你的结论;
（2）当AM=1时，试判断并证明△EMC是什么三角形。
（3）EM的延长线交CB的延长线于F，若△EFC为等腰三角形，试求BF的长

Answer 1

EN与BC互相垂直∵E是AD中点，N为线段MC的中点，∴EN是梯形AMCD的中位线，所以EN平行于CD,∵CD⊥BC,∴EN⊥BC 当AM=1时△EMC是直角三角形。此时MB=3E是AD中点，∴EA=ED=2,∵∠A=∠D=∠B=90°所以EM=根号5，EC=2根号5，MC=5 EM�0�5+EC�0�5=MC�0�5，∴△EMC是直角三角形 3.EM的延长线交CB的延长线于F，若△EFC为等腰三角形则有EF=EC或EF=FC若EF=EC时，F与点B重合，M也与点B重合，不可能，所以这不成立。若EF=FC,BF=FC-4

Answer 2

<1>EN垂直于BC。
连接EN.因为E、N分别是AD和MC的中点，且四边形AMCD是梯形，AM平行于CD
所以EN是梯形的中位线，所以由梯形中位线性质知：EN//CD.
又因为四边形ABCD是正方形
所以BC垂直于CD。又因为EN//CD,所以EN垂直于BC
<2>三角形EMC是直角三角形.
连接EN,EM,EC,CM
因为AM=1,AE=1/2AD=2,所以由勾股定理知：EM^2=5.又同理：由勾股定理知：EC^2=20,CM^2=25.所以可知EM^2+EC^2=MC^2
所以…

Answer 3

(3)先分三种情况谈论：1.EF=FC.过E作CF的垂直线交CF于Q，可知三角形EFC为直角三角形。那么EQ^2+(BQ+BF)^2=(BC+BF)^2,所以BF=1
2.EF=EC.此时F与B重合。故M与B重合。又M不与A、B重合，所以该种情况不成立！
3.FC=EC.因为EC^2=ED^2+CD^2.所以BF=FC-BC=EC-BC=2�0�55-4.(�0�5代表开根号)
综上所述：BF=1或2�0�55-4