Question

在等腰梯形ABCD中，AD平行BC，AB=CD，P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD,BG垂直CD,试说明PE+PF=BG

Answer 1

过点B做BG垂直于DC垂足为G作OP⊥BG
则∠PFG＝∠FGO＝∠OPF＝90°
∴四边银漏形OGFP是矩形
∴OG＝PF,DC‖OP
∴∠C＝∠OPB
又∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC＝∠C
∴∠ABC＝∠OPB
∵∠BEP＝90°,∠BOP＝90°
∴∠BEP＝态简∠BOP
在△BEP与△BOP中
∠BEP＝锋闭烂∠BOP
｛∠ABC＝∠OPB
BP＝BP（公共边）
∴△BEP≌△BOP（AAS)
∴PE＝OB
∵BG＝OB＋OG
又∵PE＝OB,PF＝OG
∴BG＝PE＋PF

Answer 2

过哪腊没P作PH⊥BD交BD于H，且李纳设BD与PE交于点O
∵PF⊥CD，BG⊥CD
∴角CPF=角CBG……（1）
PHDF为正方形……（3）
又由等腰梯形的性局链质，易知：角BCD=角ABD
又因为角CFP=角BEP=90°
所以三角形CFP相似于三角形BEP
所以角CPF=角BPE……（3）
由（1）（3）得： 角BPE =角CBG
又PE⊥AB，PH⊥BD
所以RtPBE相似于RtBPH，而BP=PB
所以RtPBE=RtBPH
得：PE=BH……（4）
所以BD=BH+HD=PE+PF[由（2）（4）得出]

Answer 3

过P点做PM垂直于BG所以GM=FP因为角C=角MPB=角ABC因为角BEP=角PMB因为PB=BP所以三角形全郑辩等可桐丛吵得EP=MB所以BM+GM=FP+EP所以局侍BG=FP+EP