Question

数列{an}满足递推式an=3an-1+3^n-1 (n>=2),其中a4=365

数列{an}满足递推式an=3an-1+3^n-1 (n>=2),其中a4=365 1.求a1，a2,a32.若存在一个实数λ，使得{(an+λ)/(3^n)为等差数列，求λ值;3.求数列{an}的前n项和。

Answer 1

(1)a4=3a3 3^4-1=365

∴a3=95

a3=3a2 3^3-1=95

∴a2=29

a2=3a1 3^2-1=29

∴a1=7

(2)设bn=(an λ)/3^n
要使其为等差数列

则bn-b(n-1)为一个常数
bn-b(n-1)
=(an λ)/3^n-[a(n-1) λ]/3^(n-1)

把an=3a(n-1) 3^n-1代入
得：bn-b(n-1)=1-(1 2λ)/3^n
λ是实数，不能是关于n的代数式

∴1 2λ=0
∴y=-1/2

(3)待定系数法：an-k=3[a(n-1)-k]

化简，得：an=3a(n-1)-2k=3a(n-1) 3^n-1

∴k=(1-3^n)/2

∴数列{an-(1-3^n)/2}是以8为首项，3为公比的等比数列

根据等比数列求和公式求出Tn

之后Tn (1-3^1)/2 (1-3^2)/2 …… (1-3^n)/2即可得到数列{an}的前n项和Sn