Question

如图，∠DBC和∠ECB是△ABC的两个外角． （1）用直尺和圆规分别作∠DBC和∠ECB的平分线，设它们相交于点P

如图，∠DBC和∠ECB是△ABC的两个外角．（1）用直尺和圆规分别作∠DBC和∠ECB的平分线，设它们相交于点P；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）探索∠BPC与∠BAC的数量关系，并说明理由
（3）过点P分别画直线AB.AC的垂线段PM.PN垂足为M.N，探索∠BPA与∠CPN的数量关系，并说明理由
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Answer 1

（2）设∠PCB=X度,
设∠PBC=Y度,
X+Y=180度-∠P，2Y=∠A+180度-2X。所以∠A+2∠P=180度.
（3）过P做BC的垂线垂足为G,因为PB,PC平分两个外角，根据角平分线上的点到角两边距离相等可知AP平分∠DAE,设∠PAN=Z度，则∠BPA,=Y-Z,∠CPN=90度-X,2X=2Z+180度-2Y,即X=Z+90度-Y，所以∠CPN=90度-（Z+90度-Y）= Y-X,