如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=BB1=1，点D是BC的中点。1.求证A1C∥平面AB1D 2.求二面角B1
你好，使用向量法
（1）证明：以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
∵AC=BC=BB1=1，则A1（1，0，1），C（0，0，0），D（0，1/2，0），A（1，0，0），B1（0，1，1），B（0，1，0）
∴向量A1C=(-1，0，-1)，
向量AD=(-1，1/2，0)，
向量AB1=(-1，1，1)
设平面AB1D的法向量为向量n=（x，y，z），则由
向量n·向量AD=0
向量n·向量AB1=0
-x+1/2y=0
-x+y+z=0
故可取向量n=（1，2，-1）
∵向量A1C·向量n=0，
∴A1C∥平面AB1D
（2）
解：由（1）知平面AB1D的法向量为n=（1，2，-1），平面ABD的法向量为m=（0，0，1）
∴二面角B1-AD-B的余弦值为=向量m·向量n/|m|·|n|=|-1|/√6=√6/6
∴二面角B1-AD-B的正弦值为√30/6
（3）解：设M（0，1，t），则
向量A1M=（-1，1，t-1），
向量B1D=（0，-1/2，-1）
若A1M⊥B1D，则
向量A1M·向量B1D =0,
∴-1/2-（t-1）=0，
∴t=1/2
∴B1M/B1B=1/2时，
A1M⊥B1D．
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后来我自己做也做出来了。。。 不过我想问你下 第1题那个法向量Y等于2了 那不超出三棱柱的范围了吗 不应该是（1/2,1，-1/2）合理吗？ 还有那个第二题的面ABD的法向量X,Y我求出来也确实等于0，Z是可以自己设的吗？
向量无所谓范围问题
只要满足垂直面AB1D即可
所以法向量是无穷多的，解题时，以计算简单为优
第二题也一样，只要自己能找到一个满足和面内相交直线（向量）垂直的向量即可，可以自己设定
（1）证明：如图连结A1B交AB1与点E,连结DE，在△A1BC中，DE是中位线
∴DE∥A1C
又∵A1C不在平面AB1D中，DE在平面AB1D中
∴A1C∥平面AB1D
（2）过B作BF⊥AD于延长线于点F，连结B1F
由三垂线定理可知∠BFB1是二面角B-AD-B1的平面角
△ABD的面积为1/4=AD×BF/2=(√5/2)×BF/2，得BF=√5/5
在直角三角形B1BF中，BB1=1，可得B1F=√30/5
所以cos∠B1FB=(√5/5)/(√30/5)=√6/6
（3）在线段BB1上存在中点M，使得A1M⊥B1D，理由如下
连结C1M，因为A1C1⊥平面BCC1B1
在正方形BCC1B1中，显然C1M⊥B1D，由三垂线定理可知A1M⊥B1D
此时B1M/B1B=1/2
