Question

已知f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称

已知f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称
证明f(x)是周期函数

Answer 1

证明如下
f(x)关于x=1对称则有f(1-x)=f(x+1)
又f(x)是定义域为R的奇函数则f(1-x）=-f（x-1）=f(x+1)
令x+1=t,即x=t-1,得
f(t)=-f(t-2)=f(2-t)
f(x)=f(2-x)
f(x)是周期函数

Answer 2

因为y=f(x)的图像关于直线x=1对称,所以所以f(x+1)=f(1-x)
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1-x)=-f(x-1)
即 f(x+1)=-f(x-1)
令x+1=t,即x=t-1,得
f(t)=-f(t-2)=f(2-t)
f(x)=f(2-x)
f(x)是周期函数

Answer 3

f(x)=-f(-x)=-f(2+x)
由f(x)=-f(2+x)得
f(x)=-f(2+x)=f(4+x)
周期为4