Question

函数f(x)＝acosωx＋bsinωx(ω＞0)的最小正周期为π/2，当x＝π╱6时，有最大值4。

(1)求a.b.ω的值
(2)若0＜x＜π/4，且f(x)＝4/3.求f(x－π/8)的值

Answer 1

1)求a.b.ω的值
T=π/2=2π/ω , ω=4
f(x)＝acosωx＋bsinωx= acos4x＋bsin4x=A sin(4x+arctanb/a ), x＝π╱6时，有最大值4。A=4
2π/3+arctanb/a=π/2 ,arctanb/a=-π/6 , , cos(-π/6)=a/A , a=2√3, sin(-π/6)=b/A ,b=-2

2)若0＜x＜π/4，且f(x)＝4/3.求f(x－π/8)的值 ,sin(4x-π/6)=3/16 ,cos(4x-π/6)=√247/16
f(x)=4sin(4x-π/6)
f(x-π/8)=4sin(4x-π/2-π/6)=-4sin[π/2-(4x-π/6)]=-4cos(4x-π/6)=-√247/4

Answer 2

f(x)＝acosωx＋bsinωx=√(a²+b²)*sin(ωx+φ).
此处φ满足sinφ＝a／√(a²+b²),
这个φ是辅助角。最小正周期T=2π／ω，所以π/2＝2π／ω，∴ω＝4，
x=π/6时，(ωx+φ)＝2π/3+φ，∴2π/3+φ＝π/2，φ＝－π/6.
这样，我们得到了
最大值4＝√(a²+b²)，sin(－π/6)＝a／4,即－½＝a／4，
往下自己就可以完成啦。

Answer 3

（1）2π/ω=π/2，∴ω=4.
f(x)=√(a^+b^)sin(4x+t),其中t=arctan(a/b),
当x＝π╱6时，有最大值4,
∴2π/3+t=π/2,t=-π/6,a/b=-1/√3，条件不足.