二诊数学18题请教:已知函数f(x)=(a+1)sinωx+acosωx(a>0, ω>0)的最小正周期为2π,最大值为5
18.已知函数f(x)=(a+1)sinωx+acosωx(a>0,ω>0)的最小正周期为2π,最大值为5。(1)求函数f(x)的解析式(2)若函数g(x)=f(x)-√...
18.已知函数f(x)=(a+1)sinωx+acosωx(a>0, ω>0)的最小正周期为2π,最大值为5。
(1)求函数f(x)的解析式
(2)若函数g(x)=f(x)-√15在x∈(0,π)上有两个不同的零点α,β,求cos(α+β)的值。
请老师帮忙详细解答,谢谢 展开
(1)求函数f(x)的解析式
(2)若函数g(x)=f(x)-√15在x∈(0,π)上有两个不同的零点α,β,求cos(α+β)的值。
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2个回答
2015-08-08 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识,尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖,期望能为你答疑
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解:
(1)
f(x)=(a+1)sinωx+acosωx
=√[(a+1)²+a²]sin(ωx+ψ) (辅助角公式)
最小正周期为2π,则
2π/ω=2解得ω=1
最大值为5,则
√[(a+1)²+a²]=5
(a+1)²+a²=25
2a²+2a+1=25
a²+a-12=0
(a-3)(a+4)=0
a=3或a=-4
因a>0,所以a=3
(2)由(1)得
f(x)=4sinx+3cosx
=5sin(x+ψ) 其中tanψ=3/4
令g(x)=f(x)-√15=0得
f(x)=√15
g(x)=f(x)-√15在x∈(0,π)上有两个不同的零点α,β,则
x∈(0,π)上有两个不同的零点α,β,使
f(α)=√15 且 f(β)=√15
于是
α+ψ+β+ψ=π
从而
α+β=π-2ψ
cos(α+β)=cos(π-2ψ)=-cos2ψ
tanψ=3/4得
cosψ=4/5
cos2ψ=2cos²ψ-1=2x(4/5)²-1=7/25
所以
cos(α+β)=-cos2ψ=-7/25
(1)
f(x)=(a+1)sinωx+acosωx
=√[(a+1)²+a²]sin(ωx+ψ) (辅助角公式)
最小正周期为2π,则
2π/ω=2解得ω=1
最大值为5,则
√[(a+1)²+a²]=5
(a+1)²+a²=25
2a²+2a+1=25
a²+a-12=0
(a-3)(a+4)=0
a=3或a=-4
因a>0,所以a=3
(2)由(1)得
f(x)=4sinx+3cosx
=5sin(x+ψ) 其中tanψ=3/4
令g(x)=f(x)-√15=0得
f(x)=√15
g(x)=f(x)-√15在x∈(0,π)上有两个不同的零点α,β,则
x∈(0,π)上有两个不同的零点α,β,使
f(α)=√15 且 f(β)=√15
于是
α+ψ+β+ψ=π
从而
α+β=π-2ψ
cos(α+β)=cos(π-2ψ)=-cos2ψ
tanψ=3/4得
cosψ=4/5
cos2ψ=2cos²ψ-1=2x(4/5)²-1=7/25
所以
cos(α+β)=-cos2ψ=-7/25
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