Question

2013.07.25数学题【要过程】

1. 在椭圆x²/16+y²/9=1上与直线y=-x平行的弦，它们的中点皆落在直线y=mx上，试问m=__________。【答案：9/16】
2. 椭圆x²/16+y²/9=1，以P(-1,2)为中点的弦所在直线方程是__________。【答案：9x-32y+73=0】

Answer 1

解：
1、设平行弦方程为：y=-x+k(k<4)
联立消去y：{y=-x+k
{x^2/16+y^2/9=1
==>25x^2-32kx+16k^2-144=0
==>x1+x2=32k/25
==>y1+y2=18k/25
==>m=(y1+y2)/(x1+x2)=9/16;
2、设交点坐标为（x1,y1）,(x2,y2)
==>x1+x2=-2;y1+y2=4;
{x1^2/16+y1^2/9=1
{x2^2/16+y2^2/9=1
==>k=(y1-y2)/(x1-x2)=9/32
==>9x-32y+73=0

Answer 2

1、设与直线y=-x平行的弦的方程为y=-x+b，
代入椭圆方程整理得：25x^2-32bx+16b^2-144=0，
——》x1+x2=32b/25，
——》中点的横坐标x=(x1+x2)/2=16b/25，
——》中点的纵坐标y=-x+b=9b/25，
——》m=y/x=(9b/25)/(16b/25)=9/16；
2、设过P(-1,2)点的弦所在直线方程为：y-2=k(x+1)，
代入椭圆方程整理得：(16k^2+9)x^2+32k(k+2)x+16(k+2)^2-144=0，
——》x1+x2=-32k(k+2)/(16k^2+9)=2*xp=-2，
解得：k=9/32，
即：y-2=9/32*(x+1)，
整理得：9x-32y+73=0。

Answer 3

1、设弦的方程为y=-x+d，代入椭圆方程中
9x^2+16(-x+d)^2=144,9x^2+16x^2-32dx+16d^2-144=0,25x^2-32dx+(16d^2-144）=0
中点x=(x1+x2)/2=(32d/25)/2=16d/25
中点也在弦上：y=-x+d=-16d/25+d=-16d/25+25d/25=9d/25

y/x=9d/(16d)=9/16,y=9/16x,m=9/16
2、设弦的方程为y=k(x+1)+2,代入椭圆方程
9x^2+16(k(x+1)+2)^2=144
9x^2+16(kx+k+2)^2-144=0
9x^2+16k^2x^2+32k(k+2)x+(k+2)^2-144=0
(9+16k^2)x^2+32k(k+2)x+[(k+2)^2-144]=0
-1=(x1+x2)/2=-16k(k+2)/(9+16k^2);
9+16k^2=16k^2+32k
k=9/32
弦的方程为：y=9/32*(x+1)+2,32y=9x+9+64,9x-32y+73=0