Question

已知P(-1,2)为圆x^2 y^2=8内一定点求过点P且被圆所截得弦最短的直线方程,所截的最长方程

易知，
过P(-1,2)被圆x^2+y^2=8所截得弦最长的直线为过该点的直径，
其直线方程为
2x+y=0
所截的最短直线与这条直径垂直，
其直线方程为
x-2y+5=0.

请问为什么最短直线与此直径垂直呢 ？？？ 急！万分感谢

Answer 1

设圆心为O

弦为AB

|AB|=2√(r²-d²)

r为定值，应使d最大.

当OP与AB垂直时，d最大，d=OP.

追问

OP与AB垂直时，d最大 WHY?

追答

看那个直角三角形，d<OP
只有当OP与直线垂直时，d=OP，其余d均小于OP.

Answer 2

用垂径定理就可以解释，你自己画个图就知道了。要是纯理论证明的话，就设出最短直线方程，与圆的方程联力，出：（0.5kx-0.5k）^2+x^2=8 ，求出x1+x2 和x1×x2 ，然后用垂径定理求出最短弦d=16-【（k-2）/根号下0.5k+1 】。再用x1+x2 和x1×x2表示出来结果，就剩下关于k的方程，当k=0.5时d有最小值6，所以就和2x+y=0垂直了

追问

请问高中必修2有这个定理吗..谢谢您