Question

矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm.若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小.试求出这个值.

有木有添好辅助线的图啊~~求大神解~~~拜托拜托~~~

Answer 1

过B作BM⊥AC于M，并延长到P，使PM=BM，
过P作PN⊥AB于N，在RTΔABC中，
AC=√AB^2+BC^2)=10√5，
SΔABC=1/2AB*BC=1/2AC*BM，
BM=10×20÷10√5=4√5，
∴BM+BN最小=MP=2BM=8√5。

追问

M不是确定点吗？为什么还要作BM⊥AC？
有没有另一种作对称的方法？

追答

M不是确定点，找的是M、N。
上面有错误。

过B作MQ⊥AC于Q，并延长BQ到P，使PQ=BQ，
过P作PN⊥BC于N，交AC于M。
(这时BM+MN=PN最小)，
ΔPNB∽ΔABC，
PN/PB=AB/AC，PB=8√5，
∴PN=8√5*20/(10√5)=16。
即BM+MN最小=16。