Question

y=-x2+6x-7当x取 t≤x≤t+2 时 y最大值=-(t-1)2+2 则t的取值范围。相同条件 y最小值为..时t的取值范围是

Answer 1

分析：
y=-x²+6x-7=-(x-3)²+2
即，函数 y=-x²+6x-7 开口向下，对称轴为x=3，
在x=3时，取得最大值2；
在x∈（-∞，3】上单调递增；
在x∈【3，﹢∞）上单调递减；
t≤x≤t+2，为一个长度为2的区间；
本题可以通过讨论t、t+2、3之间的大小关系来求解。
如果你自己还不能解决，请追问。明天上午有空时帮你解答。

——继续回答：
当 t∈（-∞，1】时，t+2∈（-∞，3】
【t，t+2】完全落在y(x)=-x²+6x-7的单调递增区间，

因此最大值在 x=t+2 处取得，即：
Max（y(x)）=y(t+2)=-(t+2-3)²+2=-(t-1)²+2，
与题目要求：y最大值=-(t-1)²+2
完全一致；
当 t∈（1，3）时，3∈【t，t+2】，
此时最大值为y(3)=2，
求解：2=-(t-1)²+2，
解得：t=1，与 t∈（1，3）的定义域不符，故舍去；（其实t=1已包含在 t∈（-∞，1】中）
当 t∈【3，﹢∞）时，
【t，t+2】完全落在y(x)=-x²+6x-7的单调递减区间，

因此最大值在 x=t 处取得，即：
Max（y(x)）=y(t)=-(t-3)²+2，
求解：-(t-3)²+2=-(t-1)²+2，
解得：t=2，与 t∈【3，﹢∞）的定义域不符，故舍去；
综上，满足y最大值=-(t-1)²+2的 t 的范围是（-∞，1】。

类似的如果是最小值：
当 t∈（-∞，1】时，t+2∈（-∞，3】
【t，t+2】完全处于y(x)=-x²+6x-7的单调递增区间，

因此最小值在 x=t 处取得，即：
Min（y(x)）=y(t)=-(t-3)²+2，
求解：-(t-3)²+2=-(t-1)²+2，
解得：t=2，与 t∈（-∞，1】的定义域不符，故舍去；
当 t∈（1，2）时，y(t+2)=y(6-(t+2))=y(4-t)，3〉4-t〉2〉t〉1，
t+2关于对称轴x=3的对称点4-t，与t同处于y(x)=-x²+6x-7的单调递增区间，
因此最小值在 x=t 处取得，即：
Min（y(x)）=y(t)=-(t-3)²+2，
求解：-(t-3)²+2=-(t-1)²+2，
解得：t=2，与 t∈（1，2）的定义域不符，故舍去；

当 t∈【2，3）时，y(t)=y(6-t)，5〉t+2≥4≥6-t〉3，
t关于对称轴x=3的对称点6-t，与t+2同处于y(x)=-x²+6x-7的单调递减区间，
因此最小值在 x=t+2 处取得，即：

Min（y(x)）=y(t+2)=-(t+2-3)²+2=-(t-1)²+2，
与题目要求：y最小值=-(t-1)²+2
完全一致；
当 t∈【3，﹢∞）时，

【t，t+2】完全落在y(x)=-x²+6x-7的单调递减区间，

因此最小值在 x=t+2 处取得，即：
Min（y(x)）=y(t+2)=-(t+2-3)²+2
=-(t-1)²+2，
与题目要求：y最小值=-(t-1)²+2
完全一致；
综上，满足y最小值=-(t-1)²+2的 t 的范围是【2，﹢∞）。