Question

已知函数f（x）＝a－2/2∧x＋1（a∈R）是R上的奇函数

已知函数f（x）＝a－2/2∧x＋1（a∈R）是R上的奇函数。（1）求实数a的值（2）求函数f（x）的值域（3）判断并证明函数f（x）的单调性

Answer 1

解：
f(x)=a-2/(2^x+1)是R上奇函数，则
f(-x) +f(x)=0
f(0)=0
0=a-1
a=1
f(x)=1-2/(2^x+1)

（2）2^x>0 则2^x+1>1
则-2/(2^x+1)>-2
值域（-1,1)

（3）在R上为增函数
设x2>x1
f(x2)-f(x1)=1-2/(2^x2+1)-1+2/(2^x1+1)
=2[(2^x2+1-2^x1-1)/[(2^x2+1)(2^x1+1)]
=2(2^x2-2^x1)/[(2^x2+1)(2^x1+1)]
∵2^x2-2^x1>0 (2^x2+1)(2^x1+1)>0
∴f(x2)-f(x1)>0
所以在R上为增