Question

已知函数f(x)=x（1+a|x|）设关于x的不等式f(x+a)<f（x）的解集为A若[-1/2，1/2]属于A，则实数a的取值范围

已知函数f(x)=x（1+a|x|）设关于x的不等式f(x+a)<f（x）的解集为A若[-1/2，1/2]属于A，则实数a的取值范围是

Answer 1

F'(X)=2a|X|+1

当a>0时F'(x)>0,即f(x)单增

f(x+a)<f(x),有x+a<x,即a<0。矛盾

当a<0时，

F(X)图像，为奇函数

因为    [-1/2，1/2]属于A

所以    -1/2《xo《1/2

有

x0+a》x1

x0《x2

x1=-x2

得x1《-1/2

    X1《-1/2+a

    x2》1/2

    X2》1/2-A

有f"(x)=2 a|x|+1=0

得x1=1/2a,x2=-1/2a

带入求解

得a属于[（1-根号5）/2,0]

Answer 2

定义域R关于原点对称,f(-x)=-x(1+a|x|)=-f(x),所以f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax^2+x,对称轴x=-1/2a,当a>0时,f(x)在(0,+∞)单调增,不成立,当a<0时,f(x)在(0,-1/2a)单调增,在(-1/2a,+∞)单调减，所以当x<0时，f(x)在(-∞,1/2a)单调减，在(1/2a,0)单调增，f(x+a)<f(x)表示把f(x)向左平移-a个单位的图象在f(x)下方的部分， 又[-1/2,1/2]包含于A,根据图象，-1/a<-a<-2/a且-1/2>1/a,解得-√2<a<-1

追问

那f（x+a）呢