Question

高中数学：已知函数f(x)＝(1＋sinx＋cosx＋sin2x)/(1＋sinx＋cosx);问题

⑴求函数f(x)的定义域；⑵求函数f(x)在〔0，2派〕上的单调减区间

Answer 1

解答如下：
f(x)＝(1＋sinx＋cosx＋sin2x)/(1＋sinx＋cosx);
=（sin^2x+cos^2x+sinx＋cosx＋sin2x)/(1＋sinx＋cosx);
=（sin^2x+2sinxcosx+cos^2x+sinx＋cosx)/(1＋sinx＋cosx);
=[(sinx＋cosx)^2+sinx＋cosx]/(1＋sinx＋cosx);
=(sinx＋cosx)*(sinx＋cosx+1)/(sinx＋cosx+1)
=sinx＋cosx

f(x)=(2根号)sin(x+∏/4)

(1)定义域问题：
根据f(x)的分母1＋sinx＋cosx不等于0可以得到：
sinx＋cosx不等于-1，
所以(2根号)sin(x+∏/4)不等于-1
即：x+∏/4不等于2k∏-3∏/4,或者不等于2k∏-∏/4
所以定义域为：x≠2kπ-π且x≠2kπ-π/2，k为整数。

（2）求函数f(x)在〔0，2∏〕上的单调减区间
〔0，2∏〕是函数f(x)=(2根号)sin(x+∏/4)的一个周期，所以：

∏/4<=x+∏/4<=5∏/4 ,且x≠π,x≠3∏/2
单调减区间为：[0,∏)