Question

对a、b∈R，记max（a，b）=﹛a，a≥b，b，a＜b﹜。函数f（x）=max｛│x+1│，│x-2│｝（x∈R）的最小值

Answer 1

设|x＋1|-|x-2|=a
(|x＋1|-|x-2|)*(|x＋1|+|x-2|)=a*(|x＋1|+|x-2|)
(|x+1|)^2-(|x-2|)^2=a*(|x＋1|+|x-2|)
(x+1)^2-(x-2)^2=a*(|x＋1|+|x-2|)
2x-3=a*(|x＋1|+|x-2|)
很明显:(|x＋1|+|x-2|)>0
所以:
当x>=1/2时间.a>=0
对应的f(x)=|x＋1|
即:f(x)=x+1
条件:x>=1/2
------
(1)
当x<=1/2时间.a<=0.对应的f(x)=|x-2|
即:f(x)=2-x
条件:x<=1/2
-------(2)
(1)函数的最小值为:f(x)=1/2+1=3/2
此时x取有效范围中的最小值:x=1/2
(1)函数的最小值为:f(x)=2-1/2=3/2
此时x取有效范围中的最大值:x=1/2
所以:f(x)的最小值为:3/2.(x为1/2时)