Question

证明定义在对称区间（-a,a)上的任意函数f(x)均可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

Answer 1

设所定义的函数是:f(x),是一个任意函数,在(-a,a)是连续的.那么:有以下表达式:

f(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]

很明显,上式是成立的,因为计算出来后两边是相等的.现在我们来分析这个式子.可以看出,式子中加号以前的部分即:1/2*[f(x)+f(-x)]是一个偶函数,因为代入-x后和原式是相等的.同样,加号以后的部分是一个奇函数,代入-x后即可以看出.

所以对于任意一个定义在(-a,a)区间上的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.

事实上,只要函数在定义域是关于0对称的,那么上式一定成立.