Question

设f(x)的定义域为【-L,L】。证明f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。

Answer 1

因为该函数的定义关于原点对称，对任何函数f(x),令f1(x)=[f(x)+f(-x)]/2,f2(x)=[f(x)-f(-x)]/2
容易验证，f1(-x)=f1(x),即f1(x)是偶函数；f2(-x)=-f2(x),即f2(x)是奇函数。
且因f1(x)+f2(x)=f(x).
所以任意一个定义域为R的函数，都可以用一个偶函数和一个奇函数表示

Answer 2

奇函数：
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
偶函数：
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
两个函数之和：
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。
得证。