Question

已知函数f（x）= lnx-a/x, （1）当a>0时，判断fx在定义域上的单调性。 （2）若fx

已知函数f（x）= lnx-a/x,
（1）当a>0时，判断fx在定义域上的单调性。
（2）若fx在【1，e】上的最小值为2，求a的值

Answer 1

(1)显然f(x)的定义域为（0，+∞）
因x>0，a>0
则f'(x)=1/x+a/x^2>0
表明f(x)在其定义域上为增函数

(2)若a>0
由（1）知f(x)为增函数
则f(x)min=f(1)=-a=2
即a=-2
显然与a>0矛盾

若a<0
令f'(x)=1/x+a/x^2=0
注意到x>0
解得x=-a
当0<x<-a时，f'(x)<0，表明f(x)在该区间递减
当x>-a时，，f'(x)>0，表明f(x)在该区间递增
显然x=-a为f(x)在其定义域上的最小值点
若0<-a≤1（-1≤a<0）时，f(x)在[1，e]上递增，则f(x)min=f(1)=-a=2，即a=-2，与前设不符
若1<-a≤e（-e≤a<-1）时，f(x)的最小值点在[1，e]上，则f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=2，即a=-e
若-a>e（a<-e）时，f(x)在[1，e]上递减，则f(x)min=f(e)=1-a/e=2，即a=-e，与前设不符

综上知若f(x)在[1，e]上的最小值为2时，a=-e

追问

请问a取值范围怎么来的，为什么要取a大于0等等！！

追答

没有特别说明，一般认为a为实数。既然是一个不确定的实数，当然可能是正数或者负数或者0。这里只不过分开讨论罢了。代数中，分类讨论是经常要用到的方法

追问

我们同学当中有人是取-a小于1，大于1小于e，大于1，可我就是不理解，不好意思，刚才按太快了，没给你好评

追答

分类讨论时，每个分类就是一个假定的条件，在这个分类下的所有结论都必须满足这个条件，否则视为不相符或矛盾。另外注意，每个分类都是相对独立的，分类之间不应有重叠元素；一个大分类下可能还有子分类，所有子分类也是相互独立的，而且所有子分类的并集应等于它们的大分类。你们同学那样的分类实际上是不严密的，问题出在两个方面：第一，所有分类的集合并不能完全构成实数集合（注意每个分类的端点要连续，否则可能出现遗漏的结论）；第二，事实上-a不可以取到负数，也就是a取不到正数（当然，如果将-a<1再细分为-a≤0和0<-a<1进行讨论也是可以的）