Question

高中指数函数单调性证明

y=2^x 求证单调性，我正在上高一，能否用简单一点的，比如利用单调性的定义，还有，我在证明时遇到的情况也说一下，以下为错解：
解法一：设x1＜x2,设c=x2-x1＞0
f（x1）-f（x2）=2^x1-2^x2
=2^x1(1-x^c)
∵c＞0
∴1＜x^c（这一步怎么得来的？难道不是用单调性的定义证明的？？）

解法二：设x1＜x2,设c=x2-x1＞0

f（x1）除以f（x2）=2^(x1-x2)
∵x1-x2＜0
∴2^(x1-x2)＜2^0=1 (这不也是利用单调性么，利用单调性证明单调性？？）

以上两种解法都会陷入循环之中，所以求单调性定义的正解，谢谢！！！

Answer 1

这两种证明方法都没有循环论证的问题。两种证明方法中，我们用到的性质都是2的正数次幂大于1，这个性质并不是指数函数单调性的一个推论，而是可以从指数的定义中直接得出来的。问题在于，高中阶段根本无法解释像2的根号2次方怎么定义的问题，所以才不能直接证明这个性质。因为有理数次幂是有定义的，所以下面可以给出一个证明2的正有理数次幂大于1的证明：
1、2的正整数次幂大于1.这个可以用归纳法来证明。n=1,2>1,n=k,2^k>1,n=k+1,2^n=2^（k+1）>2>1,从而对正整数，命题成立。
2、小于1的正数的正整数次幂小于1.这个也可以用归纳证明。
3、2的正有理数次幂大于1.这个可以用反证法证明。（1）2的正有理数次幂大于0.（这个看起来显然，不过还是需要证明的）。（2）假若，存在2的某正有理数次幂小于1，则其为小于1的正数，从而它的任意次幂均小于1，而有理数在乘上一个适当的数之后就是正数，所以，这个数的某次方肯定是2的正整数次方，而这样一来，就会有2的正整数次方小于1的情况出现。这是和第1点矛盾的。所以，可以知道2的正有理数次方都是大于1的。命题推广到无理数，那不是我能够说给你懂的啦。
可见，你给出的两种证明单调性的方法都没有循环论证的问题。

Answer 2

单调定义除了相减大于零，还有一个就是比是大于一的。
x1>x2,2^x1/2^x2=2^(x1-x2),因为x1-x2>0所以f(x1)/f(x2)>1所以 f(x1)>f(x2)所以它是递增函数

Answer 3

指数函数的单调性证明问题，
在高一阶段不应该涉及的，
确实有循环论证之嫌。

原来的老教材是这样处理的。
指数函数的性质有一条是函数值分布：
a>1,若 x<0,0<y<1，若x=0,y=1,若x>0,y>1
0<a<1,若x<0,y>1,若x=0,y=1,若x>0,0<y<1
可以用这条性质，证明单调性，课本上的习题。

但这条性质又是怎么来的呢？

新课程教材，将函数值分布的性质也给去了。
新课标的理念是感性到理性，有具体，到抽象，
实现思维的螺旋式上升。因此，我们总是要从
图像上能够感性理解单调性就Ok了。

要解决指数函数单调性需用导数。