Question

设a为实数，函数f(x)=x�0�5+|x-a|+1,x∈R （1）讨论f(x)的奇偶性 （2）求f(x)的最小值

Answer 1

1）f(-x)=x^2+|x+a|+1
f(-x)-f(x)=|x+a|-|x-a|, 只有当a=0时，才有f(-x)-f(x)=0, 此时f(x)为偶函数
f(-x)+f(x)=2x^2+1+|x+a|+|x-a|>0, f(x)不可能为奇函数
所以当a=0时，f(x)为偶函数
当a为其它值时，f(x)为非奇非偶函数

2）x>=a时，f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4,
对称轴为x=-1/2,
若a<=-1/2, 则fmin=f(-1/2)=-a+3/4
若a>-1/2, 则fmin=f(a)=a^2+1
x<=a时，f(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4
对称轴为x=1/2
若a>=1/2. 则fmin=f(1/2)=a+3/4
若a<1/2, 则fmin=f(a)=a^2+1
综合得：-1/2<a<1/2时，fmin=a^2+1
a>=1/2时，fmin=a+3/4
a<=-1/2时，fmin=-a+3/4