Question

当x属于[0，1]时，求函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2的最小值与最大值

当x属于[0，1]时，求函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2的最小值与最大值

Answer 1

抛物线f(x)开口向上，对称轴为;x=3a-1
(1)
当3a-1<0时，即，a<1/3 ,函数f(x)在0,1]上是单调增函数，因此
f(max)=f(1)=3a^2-6a+3
f(min)=f(0)=3a^2
(2)
当0≤3a-1<1/2,(对称轴位于区间的左半)
即，
1/3≤a<1/2,
函数f(x)在[0,1] 上先减后增，且减区间短，增区间长，因此，
f(max)=f(1)=3a^2-6a+3
f(min)=f(3a-1)=[12a^2-(2-6a)^2]/4= - 6a^2+6a-1

(3)
当1/2≤3a-1<1（对称轴位于区间右半）
即，1/2≤a<2/3时，函数f(x)在[0,1] 上是先减后增，这次是减区间长，增区间短，
f(max)=f(0)=3a^2
f(min)=f(3a-1) = - 6a^2+6a-1
(4)
当1≤3a-1,即a≥2/3时，函数f(x)在[0,1] 上是减函数，
f(max)=f(1)=3a^2-6a+3
f(min)=f(0)=3a^2

Answer 2

函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2
开口向上,对称轴x=-(2-6a)/2=3a-1
若3a-1≤0,即:a≤1/3
函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2在[0，1]上单调递增
当x=0,最小值f(0)=0^2+(2-6a)*0+3a^2=3a^2
若0<3a-1<1,即:1/3<a<2/3
函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2在x=3a-1有最小值
最小值:[4*3a^2-(2-6a)^2]/4=-6a^2+6a-1
若3a-1≥1,即:a≥2/3
函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2在[0，1]上单调递减
当x=1,最小值f(1)=1^2+(2-6a)*1+3a^2=3a^2-6a+3

施主，我看你骨骼清奇，
器宇轩昂,且有慧根,
乃是万中无一的武林奇才，
潜心修习,将来必成大器。
鄙人有个小小的考验
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Answer 3

函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2
开口向上,对称轴x=-(2-6a)/2=3a-1
若3a-1≤0,即:a≤1/3
函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2在[0，1]上单调递增
当x=0,最小值f(0)=0^2+(2-6a)*0+3a^2=3a^2
若0<3a-1<1,即:1/3<a<2/3
函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2在x=3a-1有最小值
最小值:[4*3a^2-(2-6a)^2]/4=-6a^2+6a-1
若3a-1≥1,即:a≥2/3
函数f(x)=x^2+(2-6a)x+3a^2在[0，1]上单调递减
当x=1,最小值f(1)=1^2+(2-6a)*1+3a^2=3a^2-6a+3

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