Question

（2013?玄武区二模）在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）求证

（2013?玄武区二模）在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若四边形EHFG是矩形，则?ABCD应满足什么条件？（不需要证明）

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形；

（2）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，平行四边形EHFG是矩形．
∵E，F分别为AB，CD的中点，且AB=CD，
∴AE=DF，且AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AD=EF，
又∵AB=2AD，E为AB中点，则AB=2AE，
于是有AE=AD=

1

2

AB，
这时，EF=AE=AD=DF=

1

2

AB，∠EAD=∠FDA=90°，
∴四边形ADFE是正方形，
∴EG=FG=

1

2

AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，
∴此时，平行四边形EHFG是矩形．