Question

证明:如果向量组1可由向量组2线性表出，那么向量组1的秩不超过向量组2的秩。

Answer 1

假设向量组1的极大无关组为α1、α2、...αm，向量组2的极大无关组为β1、β2、...βn，又因为向量组1可由向量组2线性表出，则α1、α2、...、αm，可由β1、β2、...、βn，线性表出，假设m＞n，
根据定理
向量组A（s个向量）可由向量组B（t个向量）线性表出，且s＞t，则向量组A线性相关。则α1、α2、...、αm，线性相关，矛盾，最终可得m＜＝n，即向量组1的秩小于等于向量组2的秩。
有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
扩展资料
根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理
向量组α1，α2，···，αs线性无关等价于R{α1，α2，···，αs}=s。
若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则R{α1，α2，···，αs}小于等于R{β1，β2，···，βt}。
等价的向量组具有相等的秩。
若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。
向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，且s>t，则α1，α2，···，αs线性相关。
任意n+1个n维向量线性相关。

Answer 2

把向量组1和向量组2合并成向量组3
根据已知条件，向量组2的最大无关组，可以表示向量组3的所有向量。
所以该无关组，也是向量组3的最大无关组。
即向量组3中，不可找出更多个数的无关组，当然1中也找不到了。
所以得证。

Answer 3

设(a1,a2,...,am)是a向量组中的一个极大线性无关组构成的矩阵a'
设(b1,b2,...,bn)是b向量组中的一个极大线性无关组构成的矩阵b'
由a可以由b表述，说明存在矩阵c，满足a=bc
根据r(bc)<=r(b)得证