已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(Ⅰ)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(Ⅰ)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[t,t+2]...
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(Ⅰ)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(Ⅲ)若存在两不等实根x1,x2∈[1e,e],使方程g(x)=2exf(x)成立,求实数a的取值范围.
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(Ⅰ)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)-ex,g(1)=e.
g′(x)=(-x2+3x+2)-ex,故切线的斜率为g′(1)=4e
∴切线方程为:y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e;
(Ⅱ)f′(x)=lnx+1,
①当t≥
时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数,
∴f(x)min=f(t)=tlnt;
②当0<t<
时,在区间(t,
)上f(x)为减函数,在区间(
,e)上f(x)为增函数,
∴f(x)min=f(
)=?
;
(Ⅲ) 由g(x)=2exf(x),可得:2xlnx=-x2+ax-3,
a=x+2lnx+
,
令h(x)=x+2lnx+
,h′(x)=1+
?
=
.
h(
)=
+3e?2,h(1)=4,h(e)=
+e+2.
h(e)?h(
)=4?2e+
<0.
∴使方程g(x)=2exf(x)存在两不等实根的实数a的取值范围为4<a≤e+2+
.
g′(x)=(-x2+3x+2)-ex,故切线的斜率为g′(1)=4e
∴切线方程为:y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e;
(Ⅱ)f′(x)=lnx+1,
x | (0,
|
| (
| ||||||
f'(x) | - | 0 | + | ||||||
f(x) | 单调递减 | 极小值(最小值) | 单调递增 |
1 |
e |
∴f(x)min=f(t)=tlnt;
②当0<t<
1 |
e |
1 |
e |
1 |
e |
∴f(x)min=f(
1 |
e |
1 |
e |
(Ⅲ) 由g(x)=2exf(x),可得:2xlnx=-x2+ax-3,
a=x+2lnx+
3 |
x |
令h(x)=x+2lnx+
3 |
x |
2 |
x |
3 |
x2 |
(x+3)(x?1) |
x2 |
x | (
| 1 | (1,e) | ||
h′(x) | - | 0 | + | ||
h(x) | 单调递减 | 极小值(最小值) | 单调递增 |
1 |
e |
1 |
e |
3 |
e |
h(e)?h(
1 |
e |
2 |
e |
∴使方程g(x)=2exf(x)存在两不等实根的实数a的取值范围为4<a≤e+2+
3 |
e |
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