已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(Ⅰ)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线

已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(Ⅰ)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[t,t+2]... 已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(Ⅰ)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(Ⅲ)若存在两不等实根x1,x2∈[1e,e],使方程g(x)=2exf(x)成立,求实数a的取值范围. 展开
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柴振蔷t0
2014-12-26 · 超过64用户采纳过TA的回答
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(Ⅰ)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)-ex,g(1)=e.
g′(x)=(-x2+3x+2)-ex,故切线的斜率为g′(1)=4e
∴切线方程为:y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e;
(Ⅱ)f′(x)=lnx+1,
x (0,
1
e
)
1
e
(
1
e
,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增
①当t≥
1
e
时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数,
∴f(x)min=f(t)=tlnt;                                      
②当0<t<
1
e
时,在区间(t,
1
e
)
上f(x)为减函数,在区间(
1
e
,e)
上f(x)为增函数,
f(x)min=f(
1
e
)=?
1
e
;                                     
(Ⅲ) 由g(x)=2exf(x),可得:2xlnx=-x2+ax-3,
a=x+2lnx+
3
x

h(x)=x+2lnx+
3
x
h(x)=1+
2
x
?
3
x2
(x+3)(x?1)
x2

x (
1
e
,1)
1 (1,e)
h′(x) - 0 +
h(x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增
h(
1
e
)=
1
e
+3e?2
,h(1)=4,h(e)=
3
e
+e+2

h(e)?h(
1
e
)=4?2e+
2
e
<0

∴使方程g(x)=2exf(x)存在两不等实根的实数a的取值范围为4<a≤e+2+
3
e
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