Question

如图，一辆汽车在直线形公路AB由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB同侧的村庄．（1）设汽车行驶到公路上点P

如图，一辆汽车在直线形公路AB由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB同侧的村庄．（1）设汽车行驶到公路上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在公路AB上分别画出P、Q的位置；（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段上距离M、N两村都越来越近？在哪一段上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远？在哪一段上距离M、N两村都越来越远？（分别用文字表述你的结论）（3）在公路AB上是否存在这样一点H，汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离之和最短？如果存在，请在图中AB上画出此点H；如果不存在，请说明理由．（保留画图痕迹）

Answer 1

解答：解：（1）如图所示：P、Q即为所求；

（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的线段AP上距离M、N两村都越来越近，
在线段QP上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远，
在线段BQ上距离M、N两村都越来越远；

（3）如图所示：H点即为所求，
作出M关于直线AB的对称点M′，连接NM′，交AB于点H，则NH+HM最小，
∵M关于直线AB的对称点M′，
∴HM=HM′，
∴NM′=HN+HM，此时H点与村庄M、N的距离之和最短．