Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E。（1）求证：AC平

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E。（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，CD= ，求AE的长。

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Answer 1

解：（1）如图1，连接OC， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴ ∠OCD＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴ ∠OCD＋∠ADC＝180°， ∴ AD∥OC， ∴ ∠1＝∠2， ∵ OA＝OC， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3，即AC平分∠DAB； （2）如图2，∵ AB为⊙O的直径， ∴ ∠ACB＝90°， 又∵ ∠B＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝ ， ∴ AC＝2CD＝ ， 在Rt△ABC中，AC＝ ， ∴ AB= ， 连接OE， ∵∠EAO＝2∠3＝60 °，OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴AE＝OA＝ AB＝4。