Question

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．（1）判断△ABC的形状；（2）在上述△ABC中，若角C的对边c=1

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．（1）判断△ABC的形状；（2）在上述△ABC中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆面积的最大值．

Answer 1

（1）由sinA+sinB=sinC（cosA+cosB），得：
sin（B+C）+sin（A+C）=sinCcosA+sinAcosB，
sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinAcosB，
sinBcosC+sinAcosC=0，
（sinA+sinB）cosC=0，
∵sinB+sinA≠0，
∴cosC=0，∴C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）内切圆半径r=

1

2

(a+b?c)
=

1

2

(sinA+sinB?1)
=

2

2

sin(A+

π

4

)?

1

2

，
∵0＜A＜

π

2

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
∴内切圆半径的取值范围是（0，

2 ?1

2

]．
∴该三角形内切圆面积的最大值为S=π?(

2 ?1

2

)2=

3?2 2

4

π．