Question

这道数学题怎么解？椭圆

这道数学题怎么解？第23张图片是答案，怎么算出来的？详细点。

Answer 1

注：括号表示下标。
（1）因为动直线l垂直于x轴，所以点P、A、B的横坐标相同，均为x。又由对称性，点A、B的纵坐标互为相反数，此即y(A)+y(B)=0，y²(A)=y²(B)，y(A)*y(B)=-y²(A)<0。
因为点A在椭圆上，且y(A)>0，所以有y²(A)=2(1-x²(A)/4)。
因为|PA|=|y-y(A)|，|PB|=|y-y(B)|，所以由|PA||PB|=1，得|y-y(A)||y-y(B)|=0，即
y²-y*y(A)-y*y(B)+y(A)*y(B)=1
于是，得y²-y²(A)=1，即y²-2(1-x²(A)/4)=1
故其轨迹方程为：x²/6+y²/3=1。
此方程形式像椭圆，但由于限定P点不属于线段AB，所以有-2<x<2。
（2）抛物线y²=x-m以x轴为对称轴，当y=0时，x=m，因为有四个交点，所以抛物线的顶点必须位于P点轨迹方程左顶点以左，所以必有m<-3。
联立方程y²-2(1-x²(A)/4)=1与y²=x-m，得x²/6+(x-m)/3=1，化简后得x²+2x-2m-6=0。因为有四个交点，再考虑对称性，其交点的两个横坐标必定在区间（-2，2）内，否则不满足要求。这意味着二次方程x²+2x-2m-6=0在区间（-2，2）内正好有两个不同的实根。于是，由判别式Δ=2²-4*1*(-2m-6)>0，得m>-7/2。
综上，其取值范围为-7/2<m<-3。