Question

x√(1-y^2)+y√(1-x^2)=1，求x+y的最小值

Answer 1

该题目可以用三角换元
解：易求定域为-1≤X，Y≤1
设X=sin A,Y=cos B,
则x√(1-y^2)+y√(1-x^2)=sin Asin B+cos Acos B=cos(A-B)=1
所以A=B所以X+Y=sin A+cos A=√2sin(A+45)
既-√2≤ x+y≤√2

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由条件两边平方得：x^2(1-y^2)+2xy√((1-x^2)(1-y^2))+y^2(1-x^2)=1
继续整合：x^2-(xy)^2+y^2-(xy)^2+2xy√(1-x^2-y^2+(xy)^2)=1
得：2xy√(1-x^2-y^2+(xy)^2)=1-x^2-y^2+(xy)^2+(xy)^2
令：√(1-x^2-y^2+(xy)^2)=t
有：(2xy)t=t^2+(xy)^2
即：(t-xy)^2=0
固：√(1-x^2-y^2+(xy)^2)=xy
两边平方得：1-x^2-y^2+(xy)^2=(xy)^2
化简：x^2+y^2=1
明显是一个标准圆的议程，x+y的取值范围很明显了吧？
可以令x=sinA，y=cosA
x+y的值域即为sinA+cosA的值域
sinA+cosA=±√(sinA+cosA)^2=±√(1+sin(2A))
所以x+y的值域应该是[-√2，√2]

Answer 2

以上各位思路正确但是少了一点:
平方过程中出现了增根.
由原方程解得
y=Sqrt[-(-1 + x) (1 + x)]所以y≥0.
x=Sqrt[-(-1 + y) (1 + y)]所以x≥0.

当x≥0,y≥0时,
x√(1-y^2)+y√(1-x^2)=1
设x=Sin[t],y=Sin[s],t,s为锐角包括0°和90°.
则Sin[t]Cos[s]+Cos[t]Sin[s]=1
Sin[s+t]=1
s与t互余
x+y=Sin[t]+Sin[s]=Sin[t]+Cos[t]= Sqrt[2]Cos[45 °-t].
1≤Sqrt[2]Cos[45 °-t]≤Sqrt[2].

当且仅当t=45°时,此时,x=Sqrt[2]/2,y=Sqrt[2]/2,x+y有最大值Sqrt[2].

当且仅当t=0°时,此时,x=1,y=0,x+y有最小值1.

Answer 3

解：将x√(1-y^2)+y√(1-x^2)=1化简（移项连续平方消掉√）
得（x^2+y^2-1）^2=0
从而得：x^2+y^2-1=0
（我们将问题看作几何问题）
令x+y=t
则直线x+y=t与x^2+y^2-1=0圆相切时取最值（最大最小）
有几何知识得
t最小值是：-√2
{作图找规律求解}

Answer 4

令x=sina,y=cosa
x+y=sina+cosa=√2(cos45`sina+sin45`cosa)=√2sin(45`+a)
x+y的最小值应该是-√2