Question

在△ABC中（1）如图①，∠A=60°，∠B、∠C的平分线交于点P，求∠BPC的度数．（2）如图②，∠A=60°，∠B

在△ABC中（1）如图①，∠A=60°，∠B、∠C的平分线交于点P，求∠BPC的度数．（2）如图②，∠A=60°，∠B、∠C的三等分线交于点P（∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB），求∠BPC的度数．（3）如图③，∠A=x°，∠B、∠C的n等分线（n≥3）交于点P，求∠BPC的度数．

Answer 1

（1）∵∠B、∠C的平分线交于点P，
∴2∠PBC=∠ABC，2∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠PBC+2∠PCB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°；

（2）∵∠1=

1

3

∠ABC，∠2=

1

3

∠ACB，
∴

3

2

∠PBC=∠ABC，

3

2

∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+

3

2

∠PBC+

3

2

∠PCB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠PBC+∠PCB=80°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=100°；

（3）∵∠B、∠C的n等分线（n≥3）交于点P，
∴

n

n?1

∠PBC=∠ABC，

n

n?1

∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+

n

n?1

∠PBC+

n

n?1

∠PCB=180°，
∵∠A=x°，
∴∠PBC+∠PCB=

n?1

n

?180°-

n?1

n

?x°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180o?

n?1

n

(180o?xo)=

1

n

180o+

n?1

n

?xo．