Question

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数 ，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数 的零

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数 ，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数 的零点。己知函数 ( m为常数)。（1）当 =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为 和 ，且 ，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线 上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。

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Answer 1

（1） 和 （2）证明见解析（3）

（1）当 =0时，该函数的零点为 和 。 ……………………………2分 （2）令y=0，得△= ∴无论 取何值，方程 总有两个不相等的实数根。 即无论 取何值，该函数总有两个零点。              ………………………………6分 （3）依题意有 ， 由 解得 。 ∴函数的解析式为 。                   ………………………………8分 令y=0，解得 ∴A( )，B(4,0) 作点B关于直线0 的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线0 的交点就是满足条件的M点。  ………………………………10分 易求得直线0 与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。 连结CB’， 则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（ ）                                ………………………………12分 设直线AB’的解析式为 ，则 ，解得 ∴直线AB’的解析式为 ， 即AM的解析式为 。                    ………………………………14分 （1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2 ﹣2mx﹣2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点； （2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x﹣10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式．