Question

函数 y=x+lnx的单调性是？

Answer 1

函数y=x+lnx，定义域为(0，正无穷大)。求导y'=1+(1/x),函数在(0,正无穷大)上单调递减（通过判断1/x的单调性来判断：令T=1/x，T'=-1/(x^2),很容易判断T在(0，正无穷大)恒小于零，所以函数T=1/x为单调递减，y'=1+(1/x)单调递减）。

函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：

D⊆Q（Q是函数的定义域）。

区间D上，对于函数f(x)，∀（任取值）x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)。或，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)。

函数图像一定是上升或下降的。

该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。注意：函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。因此，说单调性时最好指明区间。

有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。

在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间。如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开。

Answer 2

函数y=x+lnx，定义域为(0，正无穷大)。求导y'=1+(1/x),函数在(0,正无穷大)上单调递减（通过判断1/x的单调性来判断：令T=1/x，T'=
-1/(x^2),很容易判断T在(0，正无穷大)恒小于零，所以函数T=1/x为单调递减，y'=1+(1/x)单调递减）