已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3。则tan(α+β)的值为?详细和解法
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由sinα+sinβ=1/4得:4sinα+4sinβ=1①
由cosα+cosβ=1/3得:3cosα+3cosβ=1②
由①、②得:
4sinα+4sinβ=3cosα+3cosβ
即:4sinα-3cosα=3cosβ-4sinβ
即:sin(α-θ)=sin(θ-β)③
③式中θ为锐角,sinθ=3/5,cosθ=4/5
根据③式,分两种情况:
第一种情况,α-θ=2kπ+θ-β,k=0,±1,±2......
这时,α+β=2kπ+2θ,所以:
tan(α+β)=tan2θ=2tanθ/(1-(tanθ)^2)
=24/7
第二种情况,α-θ=(2k-1)π-(θ-β)
这时,α=(2k-1)π+β
由此得:sinα=-sinβ,cosα=-cosβ,这和已知条件不符,舍弃。
由cosα+cosβ=1/3得:3cosα+3cosβ=1②
由①、②得:
4sinα+4sinβ=3cosα+3cosβ
即:4sinα-3cosα=3cosβ-4sinβ
即:sin(α-θ)=sin(θ-β)③
③式中θ为锐角,sinθ=3/5,cosθ=4/5
根据③式,分两种情况:
第一种情况,α-θ=2kπ+θ-β,k=0,±1,±2......
这时,α+β=2kπ+2θ,所以:
tan(α+β)=tan2θ=2tanθ/(1-(tanθ)^2)
=24/7
第二种情况,α-θ=(2k-1)π-(θ-β)
这时,α=(2k-1)π+β
由此得:sinα=-sinβ,cosα=-cosβ,这和已知条件不符,舍弃。
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