Question

已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3。则tan(α+β)的值为？详细和解法

Answer 1

由sinα+sinβ=1/4得：4sinα+4sinβ=1①
由cosα+cosβ=1/3得：3cosα+3cosβ=1②
由①、②得：
4sinα+4sinβ=3cosα+3cosβ
即：4sinα-3cosα=3cosβ-4sinβ
即：sin(α-θ)=sin(θ-β)③
③式中θ为锐角，sinθ=3/5，cosθ=4/5
根据③式，分两种情况：
第一种情况，α-θ=2kπ+θ-β，k=0，±1，±2......
这时，α+β=2kπ+2θ，所以：
tan(α+β)=tan2θ=2tanθ/(1-(tanθ)^2)
=24/7
第二种情况，α-θ=(2k-1)π-(θ-β)
这时，α=(2k-1)π+β
由此得：sinα=-sinβ，cosα=-cosβ，这和已知条件不符，舍弃。