Question

1、P是边长为1的正方形内一点,求PA+PB+PC的最小值.

Answer 1

定理：当三角形三内角均小于120度时,P点满足PA ,PB,PC 各成120度时,PA＋PB＋PC有最小值.此时明显P点应为正三角形内心,PA＋PB＋PC＝根号3.
下面是有关定理的证明,参考一下：
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.(1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
对于任意三角形△ABC,若三角形内某一点P令PA + PB + PC三线段有最小值的一点,P为费马点.
作法
* 当三角形的内角都小于120度时
o 向外做三个正三角形△ABC',△BCA',△CAB'
o 连接CC'、BB'、AA'
* 当有一个内角不小于120度时,费马点为此角对应顶点.
费马点的另外一种解法 :
在一块理想的（水平光滑）木板上画上要研究的
符合条件的三角形（任意顶角小于120度）
在三个顶点和费马点处打洞（无限小,壁光滑）
用三根绳子分别系上三个同样质量的物体,穿过
三个顶点的洞再打个结系在一起.（结当然也是理想的啦,无限小）
松手让整个系统自由运动.那么,绳结一定会落在
费马点（能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短）
然后,由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡,（三个物体质量一样）
所以三根绳子之间的夹角均为120度.
若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小