Question

试求实数k（ k≠±1），使得方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0的两根都是正整数

试求实数k（ k≠±1），使得方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0的两根都是正整数．

Answer 1

∵k≠±1，
∴k²-1≠0，那么原方程为一元二次方程，
∵关于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整数，
∴方程有实数根，判别式△≥0，
[-6（3k-1）]²-4×（k²-1）×72≥0，
整理，得：k²-6k+9≥0，
（k-3）²≥0．
设方程两根分别为x₁，x₂得：
x₁+x₂=

6(3k?1)

k2?1

，
解得k＞1或-1＜k＜

1

3

，
x₁x₂=

72

k2?1

＞0，
k＞1或k＜-1．
综上，得k＞1，
∵为整数，
∴k²-1可以为2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，
∵

6(3k?1)

k2?1

为整数，
∴k=2，3，

7

5

．
综上，可知实数k的值2，3，

7

5

．