Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，点D是斜边AB的中点，把△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，点D是斜边AB的中点，把△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′．那么AA′的长是______．

Answer 1

设AC与A′B′的交点为E，如图，
∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=

52?42

=3，
∵点D是斜边AB的中点，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，
∴∠B=∠B′，CA=CA′=4，AB=A′B′=5，∠ACB=∠A′CB′=90°，
∴∠B′=∠DCB，
∴A′B′∥BC，
而∠ACB=90°，
∴A′B′⊥AC，
∵

1

2

CE?A′B′=

1

2

A′C?CB′，
∴CE=

12

5

，
∴AE=AC-CE=4-

12

5

=

8

5

在Rt△A′CE中，A′E=

A′C2?CE2

=

16

5

，
在Rt△AA′E中，AA′=

A′E2+AE2

=

( 16 5 )2+( 8 5 )2

=

8 5

5

．
故答案为