Question

第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、

第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、F2，抛物线M：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．（1）当m=1时，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F2，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF1F2的周长，求直线l的方程；（3）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长为连续的自然数．

Answer 1

（1）设椭圆的实半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
当m=1时，由题意得，a=2c=2，b²=a²-c²=3，a²=4，
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）依题意知直线l的斜率存在，设l：y=k（x-1），由

y2＝4x y＝k(x?1)

得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由直线l与抛物线M有两个交点，可知k≠0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得x1+x2＝

2k2+4

k2

，则|AB|＝x1+x2+2＝4?

1+k2

k2

（6分）又△PF₁F₂的周长为2a+2c=6，所以4?

1+k2

k2

＝6，
解得k＝±

2

，从而可得直线l的方程为2x±

2

y?2＝0
（3）假设存在满足条件的实数m，
由题意得c=m，a=2m?b²=3m²，所以椭圆C的方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

＝1
联立

x 2   4m2 + y 2   3m2 ＝1 y2＝4mx

(m＞0)解得x0＝

2m

3

，y0＝±

2 6 m

3

即P(

2m

3

，±

2 6 m

3

)．
所以|PF2|＝x0+m＝

5m

3

，|PF1|＝4m?|PF1|＝

7m

3

，|F₁F₂|=2m，
即△PF₁F₂的边长分别为

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m，显然|PF₂|＜|F₁F₂|＜|PF₁|，
所以

5m 3 ＝2m?1 7m 3 ＝2m+1

?m＝3，故当m=3时，使得△PF₁F₂的边长为连续的自然数．