Question

已知∠ ABC =90°，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合），分别以 AB 、 AP 为边在∠ ABC 的

已知∠ ABC =90°，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合），分别以 AB 、 AP 为边在∠ ABC 的内部作等边△ ABE 和△ APQ, 连结 QE 并延长交 BP 于点 F . （1）如图1，若 AB = ，点 A 、 E 、 P 恰好在一条直线上时，求此时 EF 的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想 EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若 AB = ，设 BP =4，求 QF的长 ．

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Answer 1

1） EF =2（2） EF = BF ， 见解析（3）6

解：（1） EF =2．                    3分 （2） EF = BF ．                                　　 4分 证明： ∵ ∠ BAP= ∠ BAE -∠ EAP= 60° - ∠ EAP ，  ∠ EAQ= ∠ QAP- ∠ EAP= 60° - ∠ EAP ， ∴ ∠ BAP="∠EAQ" ．                在△ ABP 和△ AEQ 中，  AB=AE ， ∠ BAP= ∠ EAQ ， AP=AQ ， ∴ △ ABP ≌△ AEQ ． ∴ ∠ AEQ= ∠ ABP= 90°． ∴ ∠ BEF ． 又∵ ∠ EBF =90°-60°=30°， ∴ EF = BF ．                            8分 　　(3) 在图1中，过点 F 作 FD ⊥ BE 于点 D ．      　 ∵ △ ABE 是等边三角形, 　 ∴ BE=AB= ． 由（2）得 30°， 在Rt△ BDF 中，  ．    ∴  BF=  ．   ∴  EF =2 ．  　　　 10分 ∵  △ ABP ≌△ AEQ ,       ∴  QE=BP=4 ．   　　12分 ∴  QF = QE ＋ EF＝4＋2＝6 （1）利用解直角三角形求解 （2）利用全等三角形求证 (3)过点 F 作 FD ⊥ BE 于点 D， 利用三角函数求出 EF 的长，再求证△ ABP ≌△ AEQ ，求得 QE 的长，从而求出 QF 的长