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求关于x的函数y=(a+sinx)(a+cosx)(a>0)的最大值与最小值,最好是手写照片
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y=(a+sinx)(a+cosx)
=a^2+a(sinx+cosx)+sinxcosx.
设sinx+cosx=t∈[-√2,√2],
则sinxcosx=(t^2-1)/2.
∴y=a^2+at+(t^2-1)/2
=1/2(t+a)^2+(a^2-1)/2.
(其中,a>0)
a<-√2,则
t=-√2时,y|max=a^2-√2a+1/2;
t=√2时,y|min=a^2+√2a+1/2.
但a<-√2与a>0矛盾.
a>√2,则
t=-√2时,y|min=a^2-√2a+1/2;
t=√2时,y|max=a^2+√2a+1/2.
0<a≤√2,则
t=-a时,y|min=(a^2-1)/2;
t=√2时,y|max=a^2+√2a+1/2。
=a^2+a(sinx+cosx)+sinxcosx.
设sinx+cosx=t∈[-√2,√2],
则sinxcosx=(t^2-1)/2.
∴y=a^2+at+(t^2-1)/2
=1/2(t+a)^2+(a^2-1)/2.
(其中,a>0)
a<-√2,则
t=-√2时,y|max=a^2-√2a+1/2;
t=√2时,y|min=a^2+√2a+1/2.
但a<-√2与a>0矛盾.
a>√2,则
t=-√2时,y|min=a^2-√2a+1/2;
t=√2时,y|max=a^2+√2a+1/2.
0<a≤√2,则
t=-a时,y|min=(a^2-1)/2;
t=√2时,y|max=a^2+√2a+1/2。
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