Question

F1,F2是椭圆上的两个焦点,若椭圆上有一点P,使PF1⊥PF2,是确定b/a的值

求巧解

Answer 1

如果存在p使pf1⊥pf2，
那么将椭圆与y轴的交点和f1f2相连得到的两条直线的夹角一定要大于等于90度
设椭圆与y轴的交点为b(0,b)
连接bf1、bf2
那么若∠f1bf2大于等于90°，则会存在pf1⊥pf2
而若∠f1bf2小于90°，则不存在pf1⊥pf2
所以只有在∠f1bo大于等于45°的时候，才会存在pf1⊥pf2
于是
c/√(a²-c²)
>
tan45°=1，
即c
>√(a²-c²)
得到c²>
0.5a²
所以离心率e=c/a
>
√0.5
=√2
/2
即离心率的范围是[√2
/2
,1)

Answer 2

解析：
已知椭圆方程为x²/12
+y²/4=1可得a²=12,b²=4,c²=16，则焦点F1(-4,0),F2(4,0)
且设点P坐标为(2√3sina,2cosa)
所以向量PF1=(-4-2√3sina,-2cosa)，PF2=(4-2√3sina,-2cosa)
若PF1⊥PF2，则：
(-4-2√3sina)*(4-2√3sina)+(-2cosa)*(-2cosa)=1
12sin²a+4cos²a=17
8sin²a=13
sin²a＝13/8
易知
此时有|sina|>1，显然这样的角a不存在
所以这样的P点有0个，不存在。
选项D正确！！！