Question

高中数学竞赛简单平面几何问题

给定等腰△ABC,AB=AC，圆O与AB、AC相切，P是弧BC(P在△ABC内)，R在PB上，PR=PC，AR∩PC=Q。
求证：(1)AQ/QR为定值。
(2)∠BQC为定值。

Answer 1

(1)延长BP，交AC于S

由梅涅劳斯定理，CPQ截△ARS，有AQ/QR*RP/PS*SC/CA=1

从而AQ/QR=(PS*AC)/(PR*CS)=(PS*AC)/(PC*CS)

又△PSC∽△CSB 所以PS/CS=PC/CB 即PS*BC=PC*CS

因此AQ/QR=(PS*AC)/(PS*BC)=AC/BC为定值

(2)作角C的平分线交AB于T，连TQ

由角平分线定理AT/TB=AC/CB=AQ/QR

因此TQ平行于BR，因此角ATQ=角ABR=角PCB，

所以T、Q、B、C四点共圆，所以角BQC=角BTC为定值

追问

可以说下你怎么想出来的吗？

可以说下你怎么想出来的吗？

追答

首先，由于Q是生硬地拿两条直线交出来的，考虑用梅涅劳斯定理转移线段比
其次，你可以将P取在弧BC的中点，这样Q就在点T，不仅能够猜出两个定值（方便证明），还可将第二题直接转化成四点共圆