Question

如图，在等腰直角Rt△ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC

如图，在等腰直角Rt△ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为E． （1）试论证PE与BO的位置关系和大小关系．（2）设AC=2，AP=x，四边形PBDE的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵O是等腰直角三角形ABC斜边AC的中点，
∴OB⊥AC；∠OBC=

1

2

∠ABC=45°，
又∵DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠A=45°，
∵∠PDB=∠C+∠DPE，
∴∠PDB=45°+∠DPE，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBO+45°=45°+∠DPE
∴∠PBO=∠DPE，
∵在△POB和△DEP中，

∠POB＝∠PED ∠OBP＝∠EPD PB＝PD

，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；
故PE与BO的位置关系是PE⊥BO，大小关系是：PE=BO．                          

（2）解：∵O是等腰直角三角形ABC斜边AC的中点
∴OB=

1

2

AC，OB⊥AC，
∵AC=2，∴PE=OB=1，∵AP=x，∴CE=2-1-x=1-x，
∴S_△APB=

1

2

x?1=

1

2

x          
∵DE⊥AC，∠C=45°，DE=CE=1-x，
∴S_△DEC=

1

2

（1-x）²
∴S_{四边形PBDE}=S_△ABC-S_△APB-S_△DEC
∴y=

1

2

×2×1-

1

2

x-

1

2

（1-x）²
∴y=-

1

2

x²+

1

2

x+

1

2

．