Question

如图所示，半径R=1m的光滑半圆形轨道固定在竖直平面内，直径AC竖直，下端A点与光滑的水平轨道相切．一个

如图所示，半径R=1m的光滑半圆形轨道固定在竖直平面内，直径AC竖直，下端A点与光滑的水平轨道相切．一个质量为m=1kg的小球沿水平轨道从A端以VA=8m/s进入竖直圆轨道．不计空气阻力，g取10m/s2．试求：（1）小球进入圆周轨道后运动至与轨道圆心等高处时对轨道的压力大小？（2）判断小球能否运动至轨道最高点，若不能请说明理由；若能，请出小球的落地点离A点的水平距离．

Answer 1

（1）从A到达与轨道圆心等高处过程，根据动能定理，有：
-mgh=

1

2

mv2?

1

2

m

v

2 A

…①
在该位置受到重力和支持力，其中支持力提供向心力，故：
N=m

V2

R

…②
根据牛顿第三定律，有：
N′=N…③
联立①②③解得：
N′=44N
（2）小球能够过C点的最小速度为：
v₀=

gR

=

10×1

=3.15m/s
对A到C过程，根据动能定理，有：
-mg（2R）=

1

2

mvC2?

1

2

m

v

2 A

…④
解得：v_C=

v 2 A ?4gR

=

64?4×10×1

=4.9m/s＞v₀
故能够到达C点，此后做平抛运动，根据分运动公式，有：
x=v_Ct
2R=

1

2

gt2
联立解得：x=

4 15

5

=3.1m
答：（1）小球进入圆周轨道后运动至与轨道圆心等高处时对轨道的压力大小为44N；
（2）小球能运动至轨道最高点，小球的落地点离A点的水平距离为3.1m．