1/[(x+1)^2(x-1)]怎么裂项?
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可用待定系数法。
1/[(x+1)^2 (x-1)] = A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+1)^2
= [A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)]/[(x-1)(x+1)^2]
分子比较同次幂系数,得
A+B = 0
2A+C = 0
A-B-C = 1
联立解得 A = 1/4, B = -1/4, C = -1/2
1/[(x+1)^2 (x-1)] = (1/4)[1/(x-1)-1/(x+1)-2/(x+1)^2]
1/[(x+1)^2 (x-1)] = A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+1)^2
= [A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)]/[(x-1)(x+1)^2]
分子比较同次幂系数,得
A+B = 0
2A+C = 0
A-B-C = 1
联立解得 A = 1/4, B = -1/4, C = -1/2
1/[(x+1)^2 (x-1)] = (1/4)[1/(x-1)-1/(x+1)-2/(x+1)^2]
更多追问追答
追问
或许我可以问一下为什么第一步裂成(x-1)(x+1)和(x+1)^2吗
追答
目的是划分成便于积分的部分分式。
这一两句话说不清,请去看高等数学教材,“不定积分”一章,
“有理分式函数的积分”一节。
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解:可设
1/[(x+1)²(x-1)]
=A/(x+1)+B/(x+1)²+C/(x-1),
去分母,得
A(x+1)(x-1)+B(x-1)+C(x+1)²=1,
令 x=1 得 4C=1,故 C=1/4,
令 x=-1 得 -2B=1,故 B=-1/2,
令 x=0 得 -A-B+C=1,
故 A=C-B-1=1/4+1/2-1=-1/4,
所以有
1/[(x+1)²(x-1)]
=1/[4(x-1)]-1/[4(x+1)]-1/[2(x+1)²].
1/[(x+1)²(x-1)]
=A/(x+1)+B/(x+1)²+C/(x-1),
去分母,得
A(x+1)(x-1)+B(x-1)+C(x+1)²=1,
令 x=1 得 4C=1,故 C=1/4,
令 x=-1 得 -2B=1,故 B=-1/2,
令 x=0 得 -A-B+C=1,
故 A=C-B-1=1/4+1/2-1=-1/4,
所以有
1/[(x+1)²(x-1)]
=1/[4(x-1)]-1/[4(x+1)]-1/[2(x+1)²].
追问
可以讲讲是为什么分成(x+1)(x+1)^2和(x-1)吗T_T 是有什么公式吗
追答
抱歉,刚看到,解答如下:
将有理分式的分母在实数范围内完全分解因式后,可按其可能含有的因式类型分如下四种基本情形来拆项:
① 含有(x+a)型因式时,拆成的项为 A/(x+a);
② 含有(x+a)ⁿ(n>1)型因式时,拆成的项为
A₁/(x+a)+A₂/(x+a)²
+…+An/(x+a)ⁿ;
③ 含有(x²+px+q)(p²1)型因式时,拆成的项为
A₁/(x²+px+q)
+A₂/(x²+px+q)²
+…+An/(x²+px+q)ⁿ;
若分母分解因式后,含有上述多种情形,则把相应拆成的项相加即可.
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