Question

对于任意的x属于(π/4,π/2)不等式psinx4+cosx6小于等于2sinx4恒成立,则实数p的取值范围

Answer 1

答：
因为：π/4<x<π/2
所以：0<cosx<√2/2<sinx<1

p(sinx)^4+(cosx)^6<=2(sinx)^4恒成立
(2-p)*(sinx)^4>=(cosx)^6>0
所以：
2-p>=(cosx)^6 / (sinx)^4
设f(x)=(cosx)^6 /(sinx)^4
求导：
f'(x)= 6(-sinx)*(cosx)^5 / (sinx)^4 -4*(cosx)*(cosx)^6 / (sinx)^5
=-6(cosx)^5 /(sinx)^3-4(cosx)^7 / (sinx)^5
<0
所以：
f(x)是单调递减函数
所以：f(π/2)<f(x)<f(π/4)
所以：
2-p>=f(π/4)>(cosx)^6 /(sinx)^4
2-p>=[cos(π/4)]^2=1/2
p<=3/2