Question

已知x=a,x=b是函数f(x)=lnx+1/2x^2-(m+2)x,m∈r的两个极值点 若m

1/2，求极值点ab的值 若b/a≥4，求m的实数范围

Answer 1

求导得
f'(x)=1/x +x -m-2= [x²-(m+2)x+1]/x，x>0
由条件，x=a，x=b是f'(x)=0的两个根，
即a,b是方程 x²-(m+2)x+1=0的两个正根。
于是 △=(m+2)²-4≥0，且 a+b=m+2>0
解得 m≥0.
(1) 若 m=1/2，解得两根为 2和1/2，
所以 a=1/2,b=2或a=2,b=1/2.
(2)由韦达定理，得 a+b=m+2，ab=1
又b/a≥4，得 b≥4a，即 1/a≥4a，a²≤1/4，解得0<a≤1/2.
从而 m=a+b-2=a+1/a -2
设m=f(a)=a+1/a -2，这是对勾函数，在(0，1/2]上是减函数，
于是 m≥f(1/2)=1/2
即m的取值范围是[1/2，+∞)