Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=7，△ABC的面积为103，求sinA+sinC．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得：acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
整理得：sin（A+C）=2sinBcosB，即sinB=2sinBcosB，
∵sinB≠0，∴cosB=

1

2

，
则B=60°；
（Ⅱ）∵b=7，B=60°，
∴由余弦定理得：a²+c²-2accosB=b²，即a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=49①，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac=10

3

，
∴ac=40②，
②代入①得：a+c=13，
由正弦定理得：sinA+sinC=

asinB

b

+

csinB

b

=

3

2

×

a+c

b

=

13 3

7

．